算数の王道をゆく

6.新しい発見をする


今までは、表の辺の数を[横に見て]いつでも言えることを考えたわけです。点のところを[横に見て]いつでも言えることを考えたのです。面のところを[横に見て]いつでも言えることを考えたのです。しつこく言います。[横に見て]いつでも言えることを、いつでも変わらないことを考えたのでしょう。
では、縦に見て変わらないことがありますか。縦に見て変わらないこととは何でしょう。何か発見した人に聞いてみましょう。

「横に見るときと同じなのですが、辺の数ひく■は点」

これは発見したことですね。六角柱では18−6=12、五角柱では15−5=10。

「当たり前ですよ。」

どうして、当たり前ですか。

「辺が■×3で、点が■×2だから、引いたら■×1が残るから、当たり前です。」
点Cを作図

こういうのを当たり前というのですね。しかし、きちんと説明がついてよくわかりますね。

「表をくの字型に見た場合、6+6が12になり、7+8が15になり、8+10が18になります」
点Cを作図
「点−(■−2)=面」
自分の発表を式で説明してくれましたが、これはどうですか。たとえば六角柱でいうと、括弧の中が先ですから6−2は4です。点の数12から、この4をひくと面の数8になります。なるほど、よくこんな難しいことをしましたね。
「表を斜めに見たときに、五角柱の15と六角柱の12の差が3で、ひとつ左にいけば12と10、10と8の差が2になり、もうひとつ左にいけば9と8、8と7の差が1になり、最後は6と6でまったく同じ数だから0になり、差は3、2、1、0というようになります」
点Cを作図
斜めに見ていくと、差が、0、1、2、3と増えていくのですね。差を考えたときに、左から0、1、2、3となっているという見方ですね。
点Cを作図
「2のくの字というのは、たとえば四角柱だとすると、辺の数は[■×3]で、点の数は[(■一1)×2]で[■×2−2]になる。面の数は[■+2]だから、[■×2−2+■+2]というのが[■×3]になる」
点Cを作図
今の発見はすごいことです。三角柱の点の数の[(■−1)×2]は、四角柱の■より1少ないということを言えたのです。今の式が書ける人はいますか。
点Cを作図

くの字に見るとこうなるというのを式に書いてくれました。よく聞いていました。びっくりです。こんなきまりがいくつか見受けられますね。
最後、縦に見て何か言っている人はいませんか。

「すごく当たり前のことなのですが、辺と点はいつでも3:2になっているということです」
「辺と点と面の式を見ていて思ったのですが、全部たした分の数を簡単に書けます。辺の数は3をかけていて、点の数は2をかけていて、面の数は1をかけているということは、合計で6をかけるということで、辺と点は0で、必要とするのは面の+2なので、6をかけて2をたすと全部の数がわかる」
いいですね。3つの式を見て気がついたと言うのですね。辺+点+面が、何角柱の6倍に2をたしたものになるんですね。

「点+面−2=辺」
点Cを作図

これは正しいですか。六角柱で確かめると、点+面は20。20−2は辺の数18になりますね。これは当たり前ですか。当たり前ではないのではないかという声も聞こえますね。

なぜ当たり前ではないのかを誰か説明してください。当たり前であれば当たり前だという説明をしなくてはいけませんね。
点Cを作図
点Cを作図

「三角柱でいうと、面の5というのは底面の頂点+2になっているわけですから、ひく2というので面をひく2にすると、辺:点:面が3:2:1になりますから、(辺:点+面にすると)3:2+1も3:3も比が1:1で同じになるから同じです」
「この[■×2+0]は点なわけですから、+面ということは、[+■×1+2]です。点+面ということは、■×2と■×1を合わせると、■×3になるから■×3というのは、辺の[■×3+0]の■×3と同じことになりますから、余分なのは何かというと辺は[+0]、点+面は[+2]。ということは、この+2が余分ですから点+面から−2というのは、この[+2]をひいて点になるから、結局こういうようになると当たり前ということになります」

「この点と面(の式)をたすと■×3+2になり、その■×3+2とこの辺の式(■×3+0)を比べると、点+面の方が2だけ多いから2をひきます」


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